लघुत्तम समापवर्त्य or महत्तम समापवर्तक की परिभाषा
• अपवर्त्य
संख्या का अपवर्त्य ( गुणज ) वे संख्यायें हैं , जो उस संख्या से पूर्णतया विभाजित हो जाये ।
जैसे :- 4 का अपवर्त्य = 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 ,
12 का अपवर्त्य = 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , …
प्रमुख तथ्य
• किसी संख्या का पहला अपवर्त्य संख्या स्वयं होती है
• किसी संख्या का अंतिम अर्थात् सबसे बड़ा अपवर्त्य निकालना संभव नहीं है ।
• किसी संख्या अपवयों की संख्या अनंत होती हैं ।
• किसी संख्या का अपवर्त्य , संख्या बराबर या उससे बड़ा होता है ।
अपवर्तक
किसी संख्या का अपवर्तक ( गुणनखंड ) वह है , जो संख्या को पूर्णतया विभाजित कर दे ।
जैसे 4 का अपवर्तक = 1 , 2 , 4
24 का अपवर्तक = 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24
प्रमुख तथ्य
• किसी संख्या का पहला एवं सबसे छोटा अपवर्तक ‘ 1 ‘ होता है ।
• किसी संख्या का सबसे बड़ा एवं अंतिम अपवर्तक संख्या स्वयं होती है ।
• किसी संख्या के अपवर्तकों की संख्या निश्चित होती है ।
• किसी संख्या का अपवर्तक , संख्या से छोटा या बराबर होता है ।
समापवर्त्य ( सम + अपवर्त्य )
दो या दो से अधिक संख्याओं के उभयनिष्ठ अपवर्त्य को समापवर्त्य कहते हैं ।
जैसे :-4 का अपवर्त्य = 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 ,
6 का अपवर्त्य = 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , …
4 एवं 6 का समापवर्त्य = 12 , 24 , 36 , …
समापवर्तक ( सम + अपवर्तक )
दो या दो से अधिक संख्याओं के उभयनिष्ठ अपवर्तक को समापवर्तक कहते हैं ।
4 का अपवर्तक = 1 , 2 , 4
6 का अपवर्तक = 1 , 2 , 3 , 6 .
4 एवं 6 का समापवर्तक = 1 , 2
लघुत्तम समापवर्त्य
दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य वह छोटी – से – छोटी संख्या है , जो दी गयी प्रत्येक संख्या से पूर्णतया विभाज्य हो ।
जैसे :- 4 , 6 , 8 का लघुतम समापवर्त्य = 24
महत्तम समापवर्तक
दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक वह बड़ी से बड़ी संख्या है , जो दी गयी प्रत्येक संख्या को पूर्णतया विभाजित कर दें ।
जैसे -12 , 16 का महत्तम समापवर्तक – 4
ध्यान दें दो संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक एवं लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है ।
लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक का प्रमुख सूत्र
1. पहली संख्या × दूसरी संख्या = ल० स ० x म ० स ०
2. दूसरी संख्या = ( लघुत्तम समापवर्त्य x महत्तम समापवर्तक)/ पहली संख्या
3. लघुत्तम समापवर्त्य = दो संख्याओं का गुणनफल/म०स०
4. म ० स ० = दो संख्याओं का गुणनफल/ ल० स ०
5. भिन्नों का म ० स ० = अंशों का म.स. /हरों का ल ० स ०
6.भिन्नों का ल ० स ० = अंशों का ल ० स ०. /हरों का म.स.
7. यदि दिए गए पदों का आधार ( base ) समान हो तो अधिकतम घात वाला पद ( संख्या ) ही दिए गए पदों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है ।
8. जब आधार समान नहीं हो तथा आधार में कोई Common factor नहीं हो , तो दिए गए पदों का लघुत्तम समापवर्त्य उनका गुणनफल होता है ।
9. किसी दो संख्याओं का जोड़ तथा ल ० स ० का म ० स ० , उन संख्याओं के म ० स ० के बराबर होता है
अर्थात् म ॰ स ॰ = ( दो संख्याओं का जोड़ तथा ल ० स ० का महत्तम समापवर्तक निकालने पर आता है )
10 .दी गई संख्याओं के रूढ़ गुणनखंड ( Prime factor ) निकाल लेते हैं । फिर उन गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात करते हैं जो संख्याओं में सम्मिलित हैं । उभयनिष्ठ गुणनखंडों का गुणनफल ही संख्याओं का म ० स ० होता है ।
11. यदि किसी समुच्चय में ‘ n ‘ संख्याएँ हैं तथा किसी भी दो संख्या का म ० स ० ‘ H ‘ तथा सभी ‘ n ‘ संख्याओं का ल॰स॰ ‘ L ‘ है तो सभी संख्याओं का गुणनफल [ ( H )^n-1 x L ] होता है ।
लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक उदाहरण , ट्रिक
उदाहरण 1. 16 , 24 का लघुत्तम समापवर्त्य निकालें ।
हल : पहली विधि – अभाज्य गुणनखंड
16 का अभाज्य गुणनखंड = 2×2×2 x 2 = 2⁴
24 का अभाज्य गुणनखंड = 2x2x2x3 = 2³x3
16 एवं 24 का लघुत्तम समापवर्त्य = 2⁴ x 3 = 16×3 = 48 ,
दूसरी विधि – भाग
2 |16 , 24
2 |8 , 12
2 |4 , 6
|2 , 3
लघुत्तम समापवर्त्य = 2 x 2x2x2x3 = 48 उत्तर
उदाहरण 2. 118 , 24 का महत्तम समापवर्तक निकालें ।
हल गुणनखंड विधि
18 = 2 × 3 × 3
24 = 2 × 2 x 2 x 3
2|18 2|24
3|9 2|12
|3 2|6
|3
महत्तम समापवर्तक = 2×3 = 6 उत्तर
उदाहरण 3. 16 , 24 का भिन्नों का म ० स ० निकालें ।
18 = 2 × 3 × 3
24 = 2 × 2 x 2 x 3
2|18 2|24
3|9 2|12
|3 2|6
|3
महत्तम समापवर्तक = 2×3 = 6
लघुत्तम समापवर्त्य = 2 x 2x2x2x3 = 48
भिन्नों का म ० स ० = अंशों का म.स. /हरों का ल ० स ०
= 6/48
= 1/8
उदाहरण 4. 16 , 24 का भिन्नों का ल ० स ० निकालें ।
18 = 2 × 3 × 3
24 = 2 × 2 x 2 x 3
2|18 2|24
3|9 2|12
|3 2|6
|3
महत्तम समापवर्तक = 2×3 = 6
लघुत्तम समापवर्त्य = 2 x 2x2x2x3 = 48
भिन्नों का ल ० स ० = अंशों का ल ० स ०. /हरों का म.स
= 48/6
= 8
उदाहरण 5. दो संख्याओं का ल ० स ०. 1820 और उनका म.स 1820 है यदि एक संख्या 130 हो तो दूसरी संख्या है
हल
पहली संख्या × दूसरी संख्या = ल० स ० x म ० स ०
130× $ =1820×26
$ =364